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试述卡诺图化简函数的三个原则

试述卡诺图化简函数的三个原则：只能对个相邻方格实施包围，包围圈越大，式子越简。小方格可以重复包围，但每一包围必须含有一个未被包围过的方格，否则多余。包围“1”格得原函数，包围“0”格得反函数，经二次求反后分别可用“与非”逻辑和“或非”逻辑实现。

卡诺图化简法是化简真值函数的方法之一，它具有几何直观性这一明显的特点，在变元较少的情况下比较方便，且能得到最简结果。此法由卡诺于1953年提出，其具体步骤如下：1.构造卡诺框；2.在卡诺框上做出所给真值函数f的卡诺图；3.用卡诺图化简真值函数，首先把相邻的1字块两两合成矩形得到一维块；把2个相邻的1字块合成矩形得到二维块；把2个相邻的1字块合成矩形得到三维块等，合成的各种维块统称f的合块；4.把f的卡诺图中全部1字块做成若干个合块，这样一组合块就称为f的一个覆盖组，f的一切覆盖组中所含块数最小的组即是f的最小覆盖组；5.在最小覆盖组中，合块维数总和最大的组的对应式是f的最简式。

卡诺图化简

一 卡诺图的构成

卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。

1．结构特点

卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，图2．5(a)、(b)、(c)、(d)分别为2变量、3变量、4变量、5变量卡诺图的一种排列方案。图中，变量的坐标值0表示相应变量的反变量，1表示相应变量的原变量。各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。

在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i 。

从图2.5所示的各卡诺图可以看出，卡诺图上变量的排列规律使最小项的相邻关系能在图形上清晰地反映出来。具体地说，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。以四变量卡诺图为例，图中每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项分别是m1，m4，m7，m13，这4个最小项对应的小方格与m5对应的小方格分别相连，也就是说在几何位置上是相邻的，这种相邻称为几何相邻。而m2则不完全相同，它的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0(同一列的两端)和m10(同一行的两端)。这种相邻似乎不太直观，但只要把这个图的上、下边缘连接，卷成圆筒状，便可看出m0和m2在几何位置上是相邻的。同样，把图的左、右边缘连接，便可使m2和m10相邻。通常把这种相邻称为相对相邻。除此之外，还有“相重”位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几何相邻的m1，m2，m7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。对于这种情形，可以把卡诺图左边的矩形重叠到右边矩形之上来看，凡上下重叠的最小项相邻，这种相邻称为重叠相邻。

归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点：

☆ n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项；

☆ 卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。

二 卡诺图的性质

卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。合并的理论依据是并项定理AB+AB=A。例如，

根据定理AB+AB=A和相邻最小项的定义，两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。例如，4变量最小项ABCD和ABCD相邻，可以合并为ABD；ABCD和ABCD相邻，可以合并为ABD；而与项ABD和ABD又为相邻与项，故按同样道理可进一步将两个相邻与项合并为BD。

用卡诺图化简逻辑函数的基本原理就是把上述逻辑依据和图形特征结合起来，通过把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一起进行合并，达到用一个简单“与”项代替若干最小项的目的。

通常把用来包围那些能由一个简单“与”项代替的若干最小项的“圈”称为卡诺圈。

三 逻辑函数在卡诺图上的表示

1．给定逻辑函数为标准“与-或”表达式

当逻辑函数为标准“与-或”表达式时，只需在卡诺图上找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余小方格填上0，即可得到该函数的卡诺图。

例如，3变量函数F(A,B,C)=∑m(1,2,3,7)的卡诺图如图2．6所示。

2．逻辑函数为一般“与-或”表达式

当逻辑函数为一般“与-或”表达式时，可根据“与”的公共性和“或”的叠加性作出相应卡诺图。

例如，4变量函数F(A,B,C,D)=AB+CD+A·BC的卡诺图如图2．7所示。

填写该函数卡诺图时，只需在4变量卡诺图上依次找出和“与项”AB、CD、A·BC对应的小方格填上1，便可得到该函数的卡诺图。当逻辑函数表达式为其他形式时，可将其变换成上述形式后再作卡诺图。

为了叙述的方便，通常将卡诺图上填1的小方格称为1方格，填0的小方格称为0方格。0方格有时用空格表示。

四 卡诺图上最小项的合并规律

卡诺图的一个重要特征是，它从图形上直观、清晰地反映了最小项的相邻关系。当一个函数用卡诺图表示后，究竟哪些最小项可以合并呢？下面以2、3、4变量卡诺图为例予以说明。

1．两个小方格相邻, 或处于某行(列)两端时，所代表的最小项可以合并，合并后可消去一个变量。

例如，图2.8给出了2、3、4变量卡诺图上两个相邻最小项合并的典型情况的。

2．四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所的表的最小项可以合并，合并后可消去两个变量。

例如，图2.9给出了3、4变量卡诺图上四个相邻最小项合并的典型情况的。

3．八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行（列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合并，合并后可消去三个变量。

例如，图2．10给出了3、4变量卡诺图上八个相邻最小项合并的典型情况的。

至此，以3、4变量卡诺图为例，讨论了2，4，8个最小项的合并方法。依此类推，不难得出n个变量卡诺图中最小项的合并规律。

归纳起来，n个变量卡诺图中最小项的合并规律如下：

（1）卡诺圈中小方格的个数必须为2m个，m为小于或等于n的整数。

（2）卡诺圈中的2m个小方格有一定的排列规律，具体地说，它们含有m个不同变量，(n-m)个相同变量。

（3）卡诺圈中的2m个小方格对应的最小项可用(n-m)个变量的“与”项表示，该“与”项由这些最小项中的相同变量构成。

（4）当m=n时，卡诺圈包围了整个卡诺图，可用1表示，即n个变量的全部最小项之和为1。

卡诺图怎么化简

卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个方格图内，此方格图称为卡诺图。

卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项。两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。

中文名

卡诺图

外文名

Karnaugh map

本质

逻辑函数

表现形式

图形

化简最多变量

6

快速

导航

历史

性质

函数

变量

变量填入

化简函数

表示

合并规律

概述

卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表逻辑函数的一个最小项，故又称为最小项方格图。方格图中相邻两个方格的两组变量取值相比，只有一个变量的取值发生变化，按照这一原则得出的方格图（全部方格构成正方形或长方形）就称为卡诺方格图，简称卡诺图。[1]

结构特点

卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，变量的坐标值0表示相应变量的反变量，1表示相应变量的原变量，变量的取值变化规律按“循环码”变化[1] 。各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。

在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i 。

共18张

卡诺图

归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点：

☆ n个变量的卡诺图由2^n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项；

☆ 卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。

可以从图形上直观地找出相邻最小项。两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。[2]

历史

组合电路逻辑关系的图形表示法可以追溯到英国逻辑学家约翰·维恩（John Venn）1881年发明的在集合论中处理集合间逻辑关系的文氏图（Venn diagram），赫尔姆·哈斯（Helmut Hasse）有效地利用Vogt在1895年用过的哈斯图（Hasse diagram）来表示序理论中的有限偏序集，爱德华·维奇（Edward W. Veitch）在1952年将维恩图中的圆形改画成矩形而发明了维奇图（Veitch diagram）。但这些图都不如美国贝尔实验室的电信工程师莫里斯·卡诺（Maurice Karnaugh）在1953年根据维奇图改进的卡诺图（Karnaugh map）或K图（K-map）在数字逻辑、故障诊断等许多领域中应用广泛。[2]

性质

卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。合并的理论依据是并项定理AB+AB反=A。例如，

根据定理AB+AB反=A和相邻最小项的定义，两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个互反变量。例如，4变量最小项ABCD和ABC反D相邻，可以合并为ABD；A反BCD和A反BC反D相邻，可以合并为A反BD；而与项A反BD和ABD又为相邻与项，故按同样道理可进一步将两个相邻与项合并为BD。

用卡诺图化简逻辑函数的基本原理就是把上述逻辑依据和图形特征结合起来，通过把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一起进行合并，达到用一个简单“与”项代替若干最小项的目的。

通常把用来包围那些能由一个简单“与”项代替的若干最小项的“圈”称为卡诺圈。[3]

逻辑函数怎么化简

一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。常用方法有：

①并项法 利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。

②吸收法 利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。

③消因子法 利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子

④消项法 利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多的与项。

⑤配项法 利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。

二、卡诺图化简法

逻辑函数的卡诺图表示法

将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。

逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。

1.表示最小项的卡诺图

将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。

用卡诺图表示逻辑函数：

方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。

2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应 的方格中填 1，其余方格中填 0。

方法二：根据函数式直接填卡诺图。

用卡诺图化简逻辑函数：

化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。

化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。

如何最简： 圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。

注意：卡诺图中所有的 1 都必须圈到， 不能合并的 1 单独画圈。

说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。

合并最小项的原则：

1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。

2）任何4个相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。

3）任何8个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。

卡诺图化简法的步骤：

画出函数的卡诺图;

画圈（先圈孤立1格；再圈只有一个方向的最小项（1格）组合）；

画圈的原则：合并个数为2n；圈尽可能大（乘积项中含因子数最少）；圈尽可能少（乘积项个数最少）；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。

写出最简与或表达式。

最大、最小项表达式、逻辑表达式的卡诺图化简法

在上一篇文章中我介绍了有关于逻辑表达式的代数化简法的知识。在这一篇文章中，我将介绍一种适用于任何逻辑表达式的化简方法，即卡诺图化简法。

在进行卡诺图化简法之前，我们需要将函数表达式转换为最大项表达式或最小项表达式，那么这两种形式分别是什么呢？

1.最小项

在n变量逻辑函数中，若一个乘积项包含了全部的n个变量，每个变量都以它的原变量和反变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次，则称该乘积项为 最小项 。例如A、B、C三个变量可以组合出8个最小项分别为A'B'C'，A'B'C，A'BC'，A'BC，AB'C'，AB'C，ABC'，ABC。

我们通常用mi（i为下标）来表示最小项，i为编号，用十进制数表示。将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，可得到最小项的编号。例如A'BC'可以表示为010，对应十进制数2，所以将其记作m2。由此可以得知，A、B、C组成的最小项为m0，m1，m2，...，m7。那么如果是四个变量A、B、C、D，最小项就有m0到m15一共16个最小项。

2.最小项的性质

①对于任意一个最小项，输入变量只有一组取值使其值为1，而其他各组取值都使其为 0。并且，最小项不同，使其值为 1 的输入变量取值也不同；②对于变量的任意一组取值，任意两个最小项的乘积为0；③对于变量的任意一组取值，全体最小项之和为1。

3.最小项表达式

最小项表达式是由若干最小项相或构成的表达式，也称为标准与-或式。

如何将一个逻辑表达式转化为最小项表达式呢？来看图1所示的题目.

首先，这是一个三变量的逻辑表达式，所以每一项都应该包含三个变量。第一项AB缺少了变量C，于是根据互补律，我们可以将第一项乘上C+C'，再根据分配律展开，得到ABC+ABC'。同理，第二项A'C缺少变量B，乘上B+B'，展开得A'BC+A'B'C。于是最终得到最小项表达式为L=ABC+ABC'+A'BC+A'B'C。为了简便，我们通常用最小项编号的形式来表示。于是L=m1+m3+m6+m7=Σm(1,3,6,7)。

4.最大项

对于有n个变量的函数来说，若一个或项包含了全部的n个变量，每个变量都以它的原变量或反变量的形式在或项中出现，且仅出现一次，则称该或项为 最大项 。

通常，用Mi（i为下标）来表示最大项，M表示此项为最大项，i表示最大项的编号。

对于一个最大项，输入变量只有一组二进制数使其取值为0，与该二进制数对应的十进制数即为该最大项的编号。

5.最大项的性质

①对于任意一个最大项，只有一组变量取值使得它的值为 0；②对于变量的任意一组取值，任意两个最大项之和为1；③对于变量的任意一组取值，全体最大项之积为0。

6.最小项和最大项的关系

两者之间为互补关系mi=(Mi)'或Mi=(mi)'。例如，m2=A'BC'，则(m2)'=A+B'+C=M2。

7.最大项表达式

由若干最大项相与构成的表达式，也称为标准或-与式。

若给出逻辑函数的真值表，可将所有使

用卡诺图法化简函数:Y(A,B,C,)=∑m(0,2,3,7) +∑d(4,6)

卡诺图法化简函数：Y(A，B，C，)=∑m(0，2，3，7) +∑d(4，6)：

y=a+bd+b*c，

00 01 11 10，

00 0 0 1 1，

01 0 1 1 0，

11 x x x x，

10 1 1 x x

卡诺图化简法具有几何直观性这一明显的特点，在变元较少(不超过六个)的情况下比较方便，且能得到最简结果。此法由卡诺(M.Karnaugh)于1953年提出，其具体步骤如下：

1、构造卡诺框；

2、在卡诺框上做出所给真值函数f的卡诺图；

3、用卡诺图化简真值函数，首先把相邻的1字块两两合成矩形得到一维块；把22个相邻的1字块合成矩形(或正方形)得到二维块；

扩展资料：

卡诺图用方格阵列的形式列出所有的变量组合和每个组合值所对应的输出。卡诺图的格数与输入变量可能的组合数相等，也就是最小项总数2n(n为变量数)，每一个方格表示一个最小项。

用代数法化简逻辑函数，需要依赖经验和技巧，有些复杂函数还不容易求得最简形式。卡诺图化简法是一种更加系统并有统一规则可循的逻辑函数化简法

变量取值不按二进制数的顺序排列，而是按循环码排列，使相邻两个方格只有一个变量不同(一个变量变化)，而其余变量是相同的。

卡诺图的特点：在几何位置上相邻的最小项小方格在逻辑上也必定是相邻的，即相邻两项中有一个变量是互补的